Sulla targa di un motore asincrono trifase ad anelli a 4 poli sono indicati i seguenti valori nominali:

Pn = 40 [kW], Vn = 380 [V], fn = 50 [Hz], In = 75 [A], n_2n = 1434 [g /1’]

Lo statore ha le fasi collegate a triangolo e la resistenza di una fase alla temperatura di funzionamento vale R_FD=0,225 [W].

In una prova a vuoto con avvolgimenti rotorici cortocircuitati, tensione nominale, frequenza nominale, si è ottenuto:

Pon = 1430 [W], Ion = 13,6 [A] , s @ 0

In una prova a vuoto con avvolgimenti rotorici cortocircuitati, tensione pari a 200 [V], frequenza nominale, si è ottenuto:

Po^* = 992 [W], Io^* = 8 [A] , s @ 0

Determinare :

1. la potenza assorbita, il fattore di potenza, il rendimento a pieno carico;
2. la coppia generata, la coppia CEI, la coppia erogata a pieno carico;
3. in un secondo tempo, in parallelo al motore si allaccia un secondo carico trifase equilibrato di natura ohmico-induttiva ed impedenza costante, avente i seguenti dati di targa: Vcn=400 [V], Pcn=60 [kW], Icn=150 [A]. Nel caso in cui la tensione in rete rimanga pari a 380 [V], determinare il f.d.p. complessivo ed il valore della capacità per fase di una batteria di rifasamento tale da ricondurre il f.d.p. complessivo al valore 0,9 in ritardo;
4. tornando al motore, determinare la coppia massima sapendo che lo scorrimento per cui essa si verifica vale 0,1.

Considerando il diagramma che raffigura il flusso della potenza attraverso la macchina risulta evidente che, nota la potenza erogata P (pari alla potenza nominale del motore), per risalire alla potenza assorbita P_A è necessario calcolare le varie perdite.

Essendo il motore funzionante a pieno carico, le perdite nel ferro di rotore P_FeR e le perdite addizionali di rotore P_ADR sono trascurabili in quanto in questa condizione di funzionamento le frequenze rotoriche sono piccolissime.

Dalle due prove a vuoto si ricavano le perdite nel ferro di statore P_FES e le perdite meccaniche Pm. Per prima cosa si devono togliere dalle potenze assorbite a vuoto le perdite per effetto Joule negli avvolgimenti di statore (infatti la corrente assorbita a vuoto da un motore è una frazione importante di quella nominale e quindi non sono trascurabili le perdite da essa prodotte). Per fare questo serve la resistenza equivalente a stella di una fase statorica R_SY, essa è calcolabile dividendo per 3 la resistenza di una fase visto che le fasi sono collegate a triangolo:

La potenza dissipata nel ferro di statore e per perdite meccaniche nelle due prove a vuoto vale quindi:ù

Considerando che nelle due prove le perdite meccaniche si mantengono costanti in quanto la velocità del motore è la stessa (oltretutto non molto maggiore della velocità a pieno carico) e che le perdite nel ferro di statore sono proporzionali al quadrato della tensione applicata, si può impostare il sistema:

Che risolto produce le soluzioni:

Passo ora a calcolare la potenza meccanica generata P_M:

Considerando le note relazioni esistenti tra potenza meccanica generata P_M, potenza trasmessa P_T, scorrimento s e perdite negli avvolgimenti di rotore P_JR, ricavo la potenza trasmessa:

Le perdite per effetto Joule negli avvolgimenti di statore si possono calcolare direttamente:

Ricordando che le perdite addizionali sono pari al 5% della potenza elettrica assorbita, si può ora calcolare la potenza assorbita con la relazione:

Il rendimento a pieno carico varrà quindi:

Mentre il fattore di potenza del motore varrà:

La coppia CEI vale per convenzione:

La coppia meccanica generata vale:

La coppia utile erogata all’albero vale:

Considerando che del carico trifase aggiunto si conoscono i dati di targa e che l’impedenza di tale carico è costante conviene per prima cosa calcolarne l’impedenza equivalente a stella:

Quindi il fattore di potenza:

Quindi considerando che al carico sono applicati 380 [V] si calcolano la corrente assorbita e le potenze attiva e reattiva:

Applicando il teorema di Boucherot unisco il motore ed il secondo carico in un unico carico:

Il fattore di potenza totale varrà quindi:

La capacità per fase necessaria a ricondurre il f.d.p. complessivo a 0,9r, considerando di effettuare un rifasamento a triangolo visto che l’impianto è in bassa tensione, varrà:

La coppia massima esprimibile da parte del motore si può trovare attraverso il seguente ragionamento.

Noi sappiamo che la coppia generata in condizioni nominali di funzionamento vale C_M=271,8 [N·m] e che lo scorrimento corrispondente vale s=0,044. Inoltre sappiamo che lo scorrimento di massima coppia vale s_CMAX=0,1, quindi considerando l’espressione generale della coppia generata possiamo scrivere:

Risolvendo rispetto K_M e semplificando si ottiene:

D'altronde si può pure ricavare K_M dalla nota espressione della coppia massima:

Eguagliando le due espressioni di K_M si ottiene infine un’equazione dalla quale si ricava il valore della coppia massima:

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