Esercizio N° 8 (regolazione di velocità e parallelo di trasformatori)

Si tratta della seconda prova scritta dell’esame di Stato dell’anno 2008, qui trascritta letteralmente.

Due trasformatori con le seguenti caratteristiche:

potenza nominale	tensione nominale primaria	tensione secondaria a vuoto	potenza di corto circuito	potenza a vuoto	cosjCC
120 kVA	20 kV	400 V	2,4 %	0,9 %	0,4
160 kVA	20 kV	400 V	2,2 %	0,8 %	0,4

sono collegati in parallelo  per alimentare, alla loro tensione nominale di 380 V, i seguenti tre motori asincroni trifase a 4 poli:

numero motori	potenza nominale	rendimento	cosj	coppia nominale
2	90 kW	0,94	0,86	581 N·m
1	30 kW	0,92	0,83	195 N·m

Il candidato, fatte eventuali ipotesi aggiuntive, calcoli:

1) la corrente erogata da ogni trasformatore e il rendimento complessivo del parallelo considerando che i motori lavorano nelle condizioni nominali;

2) lo scorrimento per ogni motore.

Inoltre, considerando che il motore di potenza 30 kW ha un rapporto di trasformazione tra statore e rotore di 1,3, che le perdite meccaniche sono pari a 750 W e che nella prova a vuoto il motore ha assorbito una potenza di 1800 W con cosj₀=0,25, si determini:

1) il rendimento nominale del motore;

2) il valore della resistenza del reostato da inserire su ciascuna fase del rotore per ottenere una riduzione del 10% della velocità del motore, con la stessa coppia applicata.

Infine, considerato che uno dei motori di potenza nominale 90 kW lavora in modo non continuativo, il candidato illustri le conseguenze sull’impianto, durante la fase di fermo, in particolare in riferimento al suo rendimento complessivo.

Risoluzione

Per prima cosa si osserva nella traccia la mancanza della frequenza di funzionamento che sarà assunta pari a f=50 [Hz] (frequenza industriale).

Ancora, i due trasformatori saranno da intendersi trifasi visto che alimentano un’utenza trifase.

Infine, viene richiesto il calcolo del rendimento nominale del motore da 30 kW pur essendo tale rendimento già assegnato nella tabella che espone i dati relativi ai motori e tali dati sono esplicitamente dichiarati in condizioni nominali. Si tratta ovviamente di un errore di chi ha redatto la traccia. A mio parere è poco sensato cercare di forzare comunque una risposta alla domanda in quanto, per fare il bilancio energetico completo del motore, bisognerebbe prefissare un valore per la resistenza di ciascuna fase statorica la qual cosa è impossibile fare pretendendo al contempo una accettabile accuratezza.

Determino la corrente erogata da ciascun trasformatore.

Il parallelo da studiare risulta perfetto a vuoto (stesse tensioni secondarie a vuoto) e non perfetto a carico. Tuttavia, essendo i fattori di potenza di cortocircuito dei due trasformatori uguali avremo che le correnti erogate dai trasformatori saranno in fase tra di loro ed in fase con la corrente inviata al carico. Questo fatto semplifica lo studio in quanto rende possibile condurre i calcoli evitando l’impiego dei numeri complessi. Viste le condizioni del parallelo, le correnti erogate dai trasformatori dovranno soddisfare le seguenti condizioni:

1) la loro somma aritmetica dovrà coincidere con la corrente erogata dal parallelo;

2) le correnti erogate saranno inversamente proporzionali alle rispettive impedenze interne.

Innanzitutto determino i parametri longitudinali (e quindi l’impedenza interna) di ciascun trasformatore.

Per il secondo trasformatore:

Passo ora a determinare il valore complessivo del carico alimentato dal parallelo dei trasformatori. Allo scopo applico Boucherot. Le potenze e le coppie dei motori assegnate dal testo sono da intendersi come potenze e coppie meccaniche erogate all’albero.

La corrente erogata dal parallelo ed il relativo fattore di potenza varranno:

Lo schema unifilare dell’impianto sarà il seguente:

Ricordando che il parallelo è perfetto a vuoto mentre a carico è soddisfatta l’eguaglianza tra i f.d.p. di cortocircuito dei trasformatori, si può impostare e risolvere il sistema:

Si osserva che mentre il trasformatore da 120 [kVA] è quasi a pieno carico, il trasformatore da 160 [kVA] è leggermente sovraccaricato.

Determino il rendimento complessivo del parallelo.

Calcolo innanzitutto le perdite nei trasformatori, tenendo conto che quelle nel ferro dipendono dal quadrato della tensione mentre quelle nel rame dipendono dal quadrato della corrente.

Per risalire alle perdite nel ferro devo innanzitutto calcolare la tensione applicata ai trasformatori. Essendo il parallelo perfetto a vuoto posso condurre i calcoli relativamente al solo trasformatore da 120 [kVA].

Si osserva come, praticamente, i trasformatori lavorino alle tensioni nominali e, quindi, non si commetterebbe un errore significativo assumendo che le loro perdite nel ferro coincidono con le perdite nominali a vuoto Po_A, Po_B.

Abbiamo ora tutti gli elementi per calcolare il rendimento complessivo del parallelo:

Calcolo lo scorrimento di ciascun motore.

La velocità del campo rotante nei due motori è la stessa avendo le macchine eguale numero di poli:

La velocità di ciascun motore posso dedurla conoscendo la potenza e la coppia:

Gli scorrimenti saranno quindi:

Calcolo il rendimento nominale del motore da 30 [kW].

Come già spiegato nella premessa tale rendimento è assegnato dalla traccia e vale 0,92.

Calcolo il reostato addizionale rotorico per regolare la velocità.

Per prima cosa determino la resistenza equivalente a stella di ciascuna fase rotorica. Allo scopo mi servono la potenza dissipata e la corrente negli avvolgimenti rotorici.

Calcolo la potenza dissipata negli avvolgimenti rotorici. Chiamando con P_T la potenza trasmessa, Pm le perdite meccaniche, P_M la potenza meccanica generata, P_MAT2 la potenza meccanica erogata, Pj_R le perdite negli avvolgimenti rotorici si ha:

La corrente rotorica posso determinarla mediante il rapporto di trasformazione dopo avere trovato la corrente di reazione statorica I₁’. A sua volta la corrente di reazione statorica si calcola come differenza vettoriale tra la corrente assorbita a carico e corrente assorbita a vuoto.

Nei calcoli coi numeri complessi seguenti si è supposto di porre la tensione stellata applicata al motore con argomento 90°.

Essendo noto il rapporto di trasformazione ho infine:

La resistenza di ciascuna fase del rotore varrà quindi:

Vale la pena osservare che si poteva procedere attraverso il calcolo della resistenza fittizia R_M:

Nota la resistenza rotorica si passa ad affrontare la regolazione di velocità. Per prima cosa calcolo la nuova velocità desiderata:

A questa velocità corrisponde un nuovo scorrimento pari a:

Visto che la regolazione avviene a coppia erogata costante, si ha che lo scorrimento è direttamente proporzionale alla resistenza rotorica:

Il reostato addizionale da inserire in serie a ciascuna fase rotorica varrà:

Considerazioni sulla esclusione del motore da 90 [kW].

L’esclusione di uno dei due motori da 90 [kW] comporta una notevole diminuzione del carico visto dal parallelo.

Per prima cosa è necessario calcolare le nuove condizioni di carico. Assumendo costante e pari a 380 [V] la tensione applicata al gruppo di motori avrò:

La nuova corrente assorbita dal carico ed il relativo fattore di potenza varranno:

La nuova condizione di carico può essere soddisfatta in due diversi modi.

Si può continuare a mantenere i due trasformatori in parallelo ed in tal caso, ripetendo il procedimento già visto,  il rendimento varrà:

Oppure, considerando che il nuovo carico richiede una potenza apparente di 150,6 [kVA], inferiore alla potenza nominale del secondo trasformatore pari a 160 [kVA], si può escludere dal parallelo il primo trasformatore. Per avere il massimo beneficio sul piano del rendimento, è opportuno disinserire il primo trasformatore anche dalle sbarre del primario affinché non rimanga funzionante a vuoto determinando così delle inutili perdite nel ferro. In queste condizioni, il solo trasformatore lasciato inserito avrà il rendimento:

Confrontando risultati si nota che il rendimento dell’impianto varia di poco nei tre casi presi in considerazione. Di solito i trasformatori sono costruiti per dare il massimo rendimento nella zona compresa tra i tre quarti della corrente nominale e la corrente nominale. Stando a tale condizione, il parallelo dovrebbe vedere diminuire sensibilmente il rendimento quando si esclude uno dei motori da 90 [kW], visto che le correnti erogate scendono al di sotto dei tre quarti delle correnti nominali:

Invece ciò non accade, anzi il rendimento aumenta leggermente. La spiegazione di tale contraddizione sta nel fatto che i due trasformatori hanno avuto un dimensionamento anormale, infatti presentano entrambi una corrente teorica di massimo rendimento ben inferiore ai tre quarti della corrente nominale, come è facile verificare:

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