Esercizio 2 (f.e.m. indotta in una spira che ruota in un campo magnetico)

Si abbia una bobina di forma rettangolare composta da N = 10 spire ed immersa in un campo magnetico uniforme di induzione B = 0,8 [Wb/m²]. La bobina abbia i lati di lunghezza rispettivamente a = 20 [cm] e l = 30 [cm] ed una posizione nell’istante considerato iniziale per la quale il suo piano sia parallelo alle linee di induzione, cioè sia nell’istante iniziale a = −90° (a è l’angolo misurato tra la direzione positiva del campo magnetico e la direzione positiva della normale Ns alla superficie della bobina). La bobina ruoti attorno al proprio asse Nr con una velocità angolare costante pari ad w = 314,2 [rad/s].

1) determinare la f.e.m. media indotta nella bobina durante il primo quarto di giro.

Nel primo quarto di giro la bobina ruota dalla posizione iniziale per la quale a = −90° alla posizione per la quale a = 0°. Siccome il flusso concatenato con la bobina è nullo quando a = −90° (la bobina giace in un piano parallelo alle linee di campo) e massimo quando a = 0° (la bobina giace in un piano perpendicolare alle linee di campo) vi sarà una variazione di flusso concatenato con conseguente sviluppo di f.e.m. indotta. Il valor medio di tale f.e.m. indotta si determina applicando la legge generale dell’induzione elettromagnetica:

Nelle espressioni sopra scritte (B·S·N) rappresenta il flusso concatenato con la bobina, calcolato come prodotto del flusso attraverso una spira (B·S) per il numero di spire che compongono la bobina.

La polarità che caratterizza la f.e.m. indotta si determina considerando che deve opporsi alla causa che l’ha generata. Nel caso in esame ad avere generato la f.e.m. è un aumento del flusso concatenato e quindi, per opporsi, la f.e.m. deve essere tale da agire nella bobina (guardata da un osservatore che veda il campo andargli incontro) con verso orario così che il campo magnetico generato dalla corrente sostenuta dalla f.e.m. indotta si opponga al campo esterno di induzione B. In definitiva la f.e.m. indotta si presenterà alle estremità della bobina con la polarità positiva in N e negativa in M:

2) determinare la f.e.m. media indotta nella bobina durante il secondo quarto di giro.

Nel secondo quarto di giro la bobina ruota dalla posizione per la quale a = 0° alla posizione per la quale a = +90°. Siccome il flusso concatenato con la bobina è massimo quando a = 0° (la bobina giace in un piano perpendicolare alle linee di campo) e nullo quando a = 90° (la bobina giace in un piano parallelo alle linee di campo) vi sarà una variazione di flusso concatenato con conseguente sviluppo di f.e.m. indotta. Il valor medio di tale f.e.m. indotta varrà:

Ovviamente il valor medio è lo stesso di prima, solo che adesso vi è una diminuzione del flusso concatenato anziché un aumento e quindi cambia il segno della f.e.m. indotta che ora agirà nella bobina con verso antiorario con conseguente inversione delle polarità in N ed M.

3) determinare la f.e.m. media indotta nella bobina durante il terzo quarto di giro.

Nel terzo quarto di giro la bobina ruota dalla posizione per la quale a = +90° alla posizione per la quale a = +180°. Siccome il flusso concatenato con la bobina è nullo quando a = +90° (la bobina giace in un piano parallelo alle linee di campo) e massimo negativo quando a = +180° (il flusso concatenato è negativo perché la bobina giace in un piano perpendicolare alle linee di campo ma orientata con verso opposto rispetto al caso in cui a = 0°) vi sarà una variazione di flusso concatenato con conseguente sviluppo di f.e.m. indotta. Il valor medio di tale f.e.m. indotta varrà:

Si nota che il segno è lo stesso del caso precedente. Infatti continua ad esservi una diminuzione del flusso concatenato che passa da zero al valore massimo negativo e quindi per opporsi a tale variazione la f.e.m. indotta dovrà continuare ad agire con verso antiorario facendo permanere positiva l’estremità M e negativa l’estremità N.

4) determinare la f.e.m. media indotta nella bobina durante il quarto quarto di giro.

Nell’ultimo quarto di giro la bobina ruota dalla posizione per la quale a = +180° alla posizione per la quale a = +270° = −90°. Siccome il flusso concatenato con la bobina è massimo negativo quando a = +180° e nullo quando a = −90° (la bobina giace in un piano parallelo alle linee di campo) vi sarà una variazione di flusso concatenato con conseguente sviluppo di f.e.m. indotta. Il valor medio di tale f.e.m. indotta varrà:

Si nota che il segno è opposto rispetto quello del caso precedente. Infatti ora il flusso concatenato varia aumentando in quanto passa da un valore negativo a zero e di conseguenza la f.e.m. indotta per opporsi alla variazione dovrà agire come nel primo caso, cioè in senso orario determinando alle estremità della bobina le polarità positiva per N e negativa per M.

5) determinare l’espressione della f.e.m. indotta in un generico istante di tempo.

Riassumendo quanto finora accertato possiamo dire che, grazie al moto rotatorio, nella bobina si sviluppa a partire dall’istante considerato iniziale (nel quale la bobina è parallela alla direzione del campo, a = −90°) una f.e.m. indotta avente segno alternato. Nel succedersi dei quarti di giro il segno risulta avere la sequenza −, +, +, −. Quando il segno della f.e.m. è negativo è l’estremità N della bobina ad essere positiva, quando il segno della f.e.m. è positivo è l’estremità M della bobina ad essere positiva. E’ facile intuire che se si considera un giro completo si avrà una f.e.m. indotta media nulla in quanto il flusso concatenato finale coinciderà col flusso concatenato iniziale e non vi sarà quindi variazione alcuna di flusso concatenato.

Per esprimere il valore istantaneo di f.e.m. indotta bisogna innanzitutto individuare l’espressione del valore istantaneo di flusso concatenato. Allo scopo si osserva che nel generico istante t [s] il flusso concatenato sarà proporzionale alla parte di sezione della spira che in quell’istante è trasversale alla direzione dell’induzione:

Se indico con b l’angolo del quale la bobina ha ruotato nel generico istante t rispetto alla posizione che essa aveva nell’istante iniziale, l’area della bobina che risulta essere trasversale alla direzione del campo vale:

Ricordando l’espressione che lega l’angolo con la velocità angolare ed il tempo si ha:

Il flusso concatenato avrà quindi un valore istantaneo pari a:

In tale espressione ho chiamato con F_CMAX il valore del flusso concatenato quando la bobina è esattamente trasversale al campo, che ovviamente è il massimo valore che il flusso stesso può assumere.

Il flusso concatenato è quindi variabile nel tempo con legge periodica alternata sinusoidale ed il grafico che rappresenta tale variazione è il seguente:

In ascissa, per una migliore comprensione del fenomeno, è pure riportato in radianti l’angolo b del quale la bobina è ruotata a partire dall’istante iniziale.

Applicando ora la legge generale dell’induzione magnetica col necessario rigore matematico (e quindi assumendo che le variazioni delle grandezze siano infinitesimali) e tenendo conto delle note regole di derivazione, avrò:

Sostituendo i valori relativi all’esercizio si ha:

Il grafico che rappresenta tale funzione è:

Si nota che la f.e.m. indotta è massima quando è massima la pendenza della tangente alla funzione che rappresenta il flusso concatenato (e questo avviene quando il flusso concatenato cambia di segno), è nulla quando è nulla la pendenza della tangente alla funzione che rappresenta il flusso concatenato (e questo avviene quando il flusso concatenato raggiunge il valore massimo positivo e il valore massimo negativo).

Per ultimo andiamo a verificare se è vero che il valore medio della f.e.m. indotta nel primo quarto di periodo, cioè nell’intervallo di tempo da 0 [s] a 0,005 [s], vale proprio Ei=−96 [V]. Bisogna per prima cosa calcolare l’area sottesa dalla funzione e_i(t) nell’intervallo da 0 a 0,005 ed allo scopo calcolo l’integrale definito:

Ricordando che il valor medio è quel valore che, rimanendo costante nell’intervallo di tempo considerato, determina un’area rettangolare pari a quella sottesa dalla funzione, si ha:

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