Esercizio 2 (condensatore con dielettrico a doppio strato)

Un condensatore ad armature piane e parallele di area S=500 [cm²] ha il dielettrico costituito da due strati accostati tra loro e aderenti alle armature. Il primo dielettrico è mica con spessore 3 [mm] ed il secondo dielettrico è aria secca con spessore 1,5 [mm]. Al condensatore è applicata una tensione pari a 4 [kV].

1) determinare la capacità del condensatore.

Considerando che il condensatore va visto come se si trattasse di due condensatori posti in serie e tenendo conto della costante dielettrica dei dielettrici impiegati, si ha:

2) determinare la carica elettrica accumulata sulle armature del condensatore.

Allo scopo basta applicare la legge del condensatore:

L’armatura che si trova a potenziale elettrico maggiore si caricherà positivamente, l’altra negativamente.

3) determinare lo spostamento elettrico nei due dielettrici.

Lo spostamento elettrico nei due dielettrici è lo stesso ed è uguale alla densità di carica elettrica sulle armature ovvero alla quantità di carica elettrica che si raccoglie per unità di superficie sulle armature:

4) determinare l’intensità del campo elettrico nei due dielettrici e verificare che sia compatibile con la rigidità dielettrica degli stessi.

Allo scopo si può utilizzare la relazione che lega il campo elettrico allo spostamento elettrico:

Si osserva che in entrambi i dielettrici il campo elettrico è inferiore alla rigidità dielettrica, quindi i dielettrici possono sopportare tale campo senza che si verifichi la scarica distruttiva.

5) determinare la tensione applicata a ciascuno strato.

Si ricorre alla relazione che lega il campo elettrico alla tensione:

Si osserva che il secondo strato, pur avendo uno spessore pari alla metà del primo, sopporta una tensione maggiore in quanto ha una costante dielettrica molto più piccola. Infatti, dati due diversi dielettrici di eguale spessore, per produrre in entrambi lo stesso spostamento elettrico bisogna usare una tensione più grande per il dielettrico avente più piccola costante dielettrica (la costante dielettrica viene anche chiamata permettività elettrica).

Ovviamente, la somma di V₁ e V₂ è pari, a meno degli errori di approssimazione, alla tensione V.

6) determinare l’energia elettrostatica immagazzinata in ciascun dielettrico.

Usando l’espressione per il calcolo dell’energia nel condensatore si ha:

L’energia complessiva sarà data dalla somma delle due e potrà essere verificata con l’espressione per il calcolo dell’energia del condensatore:

L’energia accumulata nei singoli dielettrici si può trovare anche ricorrendo all’energia specifica ed al volume dei dielettrici:

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