Esercizio N° 3 (circuito in c.c., risoluzione mediante riduzione delle resistenze)

Il presente esercizio ha lo scopo di mostrare come risolvere una rete elettrica attraverso la successiva riduzione delle maglie che compongono la rete stessa utilizzando il raggruppamento delle resistenze in serie e/o in parallelo, oppure la trasformazione stella-triangolo.

Parte prima.

Partiamo con la rete di figura nella quale sia da determinare la corrente sulla resistenza R₄ col verso indicato in figura.

Come si nota la rete è composta da un’unica maglia chiusa percorsa da un’unica corrente, appunto la I₄. Tutti i dispositivi, resistenze e generatori, sono in serie tra di loro e per determinare la corrente posso applicare la legge di Ohm generalizzata:

Si nota che la corrente è risultata di valore negativo, questo fatto dipende dal verso che si è prefissato. In una rete semplice può essere possibile intuire quale verso assegnare alla corrente affinché essa risulti positiva (nel nostro caso è evidente che essendo E₂ > E₁ la corrente avrà valore positivo se scelta con verso uscente dal polo positivo del generatore E₂), ma se la rete è complessa con diversi generatori collocati su più rami è molto difficile prevedere il verso che determina un valore positivo della corrente. D'altronde l’intensità di una corrente continua è rappresentata da un numero reale che può anche essere negativo e, quando ciò accade, non si deve ritornare sui propri passi e capovolgere il verso prefissato ma, più semplicemente, usare il valore negativo nei calcoli successivi.

Parte seconda.

Rendiamo più complessa la rete inserendo due cortocircuiti rispettivamente tra i punti A e C ed i punti B e D, come mostrato in figura:

La rete è radicalmente cambiata, infatti i punti A, B, C, D sono ora dei nodi ed ovviamente la corrente sulla resistenza R₄ avrà un valore diverso dal precedente. Proponiamoci di trovarlo assieme al valore della corrente nel cortocircuito AC usando i versi indicati in figura.

La rete è composta da più maglie, tuttavia essendo i generatori presenti disposti su un unico ramo è possibile risolvere attraverso la riduzione successiva della rete fino ad ottenere un’unica maglia.

Osserviamo che le resistenze R₁, R₂, R₃ sono tra di loro in parallelo, infatti tutte e tre sono sottoposte alla stessa tensione. La cosa si può notare facilmente se si ridisegna la rete facendo coincidere i punti che si trovano allo stesso potenziale elettrico (e sono tali i punti uniti da un cortocircuito) in un unico punto geometrico:

Riduco le tre resistenze in parallelo:

Risulta evidente che, dopo la riduzione, la rete si compone di un’unica maglia alla quale posso applicare la legge di Ohm generalizzata per calcolare la corrente I₄’:

Per trovare la corrente I₆’, considerando che essa circola in un cortocircuito, non posso applicare direttamente la legge di Ohm ma devo ricorrere al primo principio di Kirchhoff applicato ad uno dei due nodi cui fa capo il cortocircuito stesso, ad esempio il nodo A della rete (*). Prima determino la corrente I₁’ sulla resistenza R₁ e questo lo posso fare ragionando sulla rete (**):

Applico ora il primo principio di kirchhoff al nodo A della rete (*):

Parte terza.

Modifichiamo ulteriormente la rete inserendo una resistenza R₆=6 [W] al posto del cortocircuito tra i punti A e C:

Ancora siano da trovare le correnti I₄” ed I₆”.

Allo scopo devo ridurre la rete ad un’unica maglia. Considerando che i punti B e D sono allo stesso potenziale concludo che le resistenze R₂ ed R₃ sono tra di loro in parallelo, posso quindi ridisegnare la rete nel seguente modo:

Dalla rete così ridisegnata risulta evidente che R₂ è in parallelo con R₃:

La resistenza R₂₃ è poi in serie con R₆:

La rete è così ridotta:

Facendo infine il parallelo tra R₁ e R₂₃₆ ottengo una rete costituita da un’unica maglia alla quale applico la legge di Ohm determinando così la corrente I₄”:

Rimane ora da trovare la corrente I₆” sulla resistenza R₆ col verso indicato in figura (***). Tale corrente è pure presente nel circuito equivalente (****) dove il suo calcolo è più semplice. Allo scopo determino la tensione tra i punti A e B ragionando sul circuito (*****) ed applico poi la legge di Ohm alla resistenza R₂₃₆ sul circuito (****):

Si faccia attenzione al segno negativo usato per la legge di Ohm applicata alla R₂₃₆, esso è dovuto al fatto che la corrente I6” ha un verso che produce una tensione opposta alla V_AB”. Non bisogna mai dimenticare che per la legge di Ohm la corrente che attraversa una resistenza provoca una caduta di tensione.

Parte quarta.

Modifichiamo ulteriormente la rete inserendo una resistenza R₇=7 [W] al posto del cortocircuito tra i punti B e D:

Ancora siano da trovare le correnti I₄’’’ ed I₆’’’.

Come già visto si comincerà col cercare di trovare la corrente nel ramo dei generatori ed allo scopo si dovranno ridurre le resistenze fino ad avere un’unica maglia. Si nota però che non vi sono resistenze in serie e/o parallelo (R₄ ed R₅ possono essere considerate in serie, ma la loro riduzione non porta a nessun beneficio) e quindi si dovrà procedere alla trasformazione stella-triangolo. Si nota la presenza nella rete di tre stelle, rispettivamente di centro A, B, C, e di due triangoli, rispettivamente ABC, BCD.

Pur essendo lecita qualsiasi trasformazione, è bene cercare di evitare la scomparsa della resistenza R₆ visto che la corrente su di essa è uno dei nostri obiettivi. Noi proviamo a trasformare la stella di centro B in un triangolo.

Per effetto di questa trasformazione scomparirà il punto B (centro della stella) assieme alle resistenze R₁, R₂, R₇ al posto delle quali compariranno le resistenze R_AC, R_CD, R_DA che costituiranno i lati del nuovo triangolo:

Analizzando la rete si nota che R_AC è in parallelo con R₆, R_CD è in parallelo con R₃:

La rete si riduce alla seguente:

In tale rete abbiamo la serie tra i due paralleli appena calcolati e quindi il parallelo di tale serie con R_DA:

Otteniamo così la rete finale ridotta ad un’unica maglia:

Applicando la legge di Ohm generalizzata determino infine la corrente I₄’’’:

Rimane ora da trovare la corrente I₆” sulla resistenza R₆. Allo scopo determino prima la V_AC’’’ usando la rete equivalente (********):

Ora che conosco la tensione ai suoi capi, posso determinare la corrente che attraversa la resistenza R₆:

Parte quinta.

Risolviamo ancora la rete della parte quarta effettuando però la trasformazione del triangolo BCD in una stella.

Come effetto della trasformazione scompariranno le resistenze R₂, R₃, R₇ e compariranno le nuove resistenze R_B, R_C, R_D ed il nuovo punto O centro della stella:

Determino I₄’’’ riducendo la rete ad un’unica maglia alla quale applicherò infine la legge di Ohm generalizzata:

Applico la legge di Ohm generalizzata e calcolo la corrente I₄’’’:

Per determinare I₆’’’ calcolo prima V_AO’’’, quindi applico la legge di Ohm al ramo interessato:

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